# Zadanie 5, matura podstawowa czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec)
- Dział: Dowody podzielności
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-05

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $5n^3 - 5n$ jest podzielna przez $30$.

## Odpowiedź

$5n^3-5n = 5n(n-1)(n+1)$, iloczyn podzielny przez $2$, $3$ i $5$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyłączamy $5n$ przed nawias, a $n^2-1$ rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

   $$\begin{aligned}&a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\[8pt] &5n^3-5n = 5n(n^2-1) = 5n(n-1)(n+1)\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium