# Zadanie 3, matura podstawowa czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-03

## Treść

Liczba $\left(2\sqrt{10} + \sqrt{2}\right)^2$ jest równa

A. $22 \qquad\qquad$ B. $42 \qquad\qquad$ C. $42 + 4\sqrt{5} \qquad\qquad$ D. $42 + 8\sqrt{5}$

## Odpowiedź

D. $42 + 8\sqrt{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podnosimy nawias do kwadratu ze wzoru skróconego mnożenia.

   $$\begin{aligned}&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\[8pt] &\left(2\sqrt{10}+\sqrt2\right)^2 = \left(2\sqrt{10}\right)^2 + 2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt2 + \left(\sqrt2\right)^2\end{aligned}$$

2. Liczymy każdy składnik osobno. W środkowym mnożymy ze sobą pierwiastki i osobno liczby, a potem wyciągamy czynnik przed pierwiastek.

   $$\begin{aligned}&\left(2\sqrt{10}\right)^2 = 4\cdot10=40 \\[8pt] &2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt2 = 4\sqrt{20}=4\cdot2\sqrt5=8\sqrt5 \\[8pt] &\left(\sqrt2\right)^2=2\end{aligned}$$

3. Dodajemy składniki.

   $$40+8\sqrt5+2 = 42+8\sqrt5$$