# Zadanie 2, matura podstawowa czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-02

## Treść

Liczba $\log_3\left(\dfrac{3}{2}\right) + \log_3\left(\dfrac{2}{9}\right)$ jest równa

A. $\log_3 \dfrac{31}{18} \qquad\qquad$ B. $\log_3 \dfrac{5}{11} \qquad\qquad$ C. $(-1) \qquad\qquad$ D. $\dfrac{1}{3}$

## Odpowiedź

C. $(-1)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu, więc mnożymy liczby pod logarytmem.

   $$\begin{aligned}&\log_a x + \log_a y = \log_a (x\cdot y) \\[8pt] &\log_3\left(\dfrac{3}{2}\right) + \log_3\left(\dfrac{2}{9}\right) = \log_3\left(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{9}\right)\end{aligned}$$

2. Mnożymy ułamki pod logarytmem i skracamy.

   $$\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{9} = \dfrac{3\cdot\bcancel{2}}{\bcancel{2}\cdot9} = \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$$

3. Zapisujemy $\dfrac{1}{3}$ jako potęgę liczby $3$ i odczytujemy logarytm.

   $$\log_3\dfrac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$$