# Zadanie 29.2, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-29-2

## Treść

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $6$.

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$\cos\alpha = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. *(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-29-2)*

Najdłuższą przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, którego rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego. Przechodzi ona przez środek podstawy i ma długość równą podwojonej długości boku:

   $$d = 2a = 2\cdot 6 = 12$$

2. Ta przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa (równa krawędzi bocznej $h=6$) oraz szukana przekątna przestrzenna tworzą trójkąt prostokątny. Obliczamy długość przekątnej przestrzennej $e$:

   $$\begin{aligned}&e = \sqrt{d^2+h^2} \\[8pt] &e = \sqrt{12^2+6^2} \\[8pt] &e = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\end{aligned}$$

3. Kąt nachylenia przekątnej $e$ do płaszczyzny podstawy leży przy przekątnej podstawy $d$, więc jego cosinus to stosunek przyprostokątnej $d$ do przeciwprostokątnej $e$:

   $$\begin{aligned}&\cos\alpha = \dfrac{d}{e} \\[8pt] &\cos\alpha = \dfrac{12}{6\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$$