# Zadanie 29.1, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-29-1

## Treść

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A. $216 + 18\sqrt{3} \qquad\qquad$ B. $216 + 54\sqrt{3} \qquad\qquad$ C. $216 + 216\sqrt{3} \qquad\qquad$ D. $216 + 108\sqrt{3}$

## Odpowiedź

D. $216 + 108\sqrt{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. *(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-29-1)*

Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku $a=6$. Pole sześciokąta foremnego obliczamy ze wzoru:

   $$P_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$

2. Podstawiamy $a=6$:

   $$P_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36 = 54\sqrt{3}$$

3. Graniastosłup prawidłowy ma dwie takie podstawy oraz ściany boczne będące prostokątami. Wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej, czyli $6$. Obliczamy pole powierzchni bocznej jako obwód podstawy razy wysokość:

   $$P_b = 6a\cdot h = 6\cdot 6\cdot 6 = 216$$

4. Pole powierzchni całkowitej to suma pola powierzchni bocznej i pól obu podstaw:

   $$P_c = 216 + 2\cdot 54\sqrt{3} = 216 + 108\sqrt{3}$$