# Zadanie 28, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-28

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $A = (-1, -4)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$. Punkt $S = (2, 2)$ jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej $AC$ równoległoboku $ABCD$ jest równa

A. $\sqrt{5} \qquad\qquad$ B. $2\sqrt{5} \qquad\qquad$ C. $3\sqrt{5} \qquad\qquad$ D. $6\sqrt{5}$

## Odpowiedź

D. $6\sqrt{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt $S$ jest środkiem symetrii równoległoboku, czyli jest środkiem przekątnej $AC$. Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:

   $$S = \left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\ \dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$$

2. Podstawiamy współrzędne punktów $A=(-1,-4)$ i $S=(2,2)$ i wyznaczamy $x_C$:

   $$\begin{aligned} &2 = \dfrac{-1+x_C}{2} \\[8pt] &4 = -1+x_C \\[8pt] &x_C = 5\end{aligned}$$

3. Analogicznie wyznaczamy $y_C$:

   $$\begin{aligned} &2 = \dfrac{-4+y_C}{2} \\[8pt] &4 = -4+y_C \\[8pt] &y_C = 8\end{aligned}$$

4. Otrzymujemy $C=(5,8)$. Obliczamy długość odcinka $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:

   $$\begin{aligned} &|AC| = \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} \\[8pt] &|AC| = \sqrt{(5-(-1))^2+(8-(-4))^2} \\[8pt] &|AC| = \sqrt{6^2+12^2} \\[8pt] &|AC| = \sqrt{36+144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\end{aligned}$$