# Zadanie 27, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-27

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste o równaniach:
<ul><li>$y=\sqrt{3}x+6$</li><li>$y=-\sqrt{3}x+6$</li><li>$y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x-2$</li></ul>przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta $KLM$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt $KLM$ jest

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>A.</b> równoramienny,</td>
      <td rowspan="3" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">ponieważ</td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>1.</b> oś $Ox$ przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>B.</b> prostokątny,</td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>2.</b> dwie z tych prostych są prostopadłe.</td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>3.</b> oś $Oy$ zawiera dwusieczną tego trójkąta.</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

B2

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sprawdzamy, czy któreś dwie z podanych prostych są prostopadłe. Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Współczynniki kierunkowe podanych prostych to kolejno $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$ oraz $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

2. Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych pierwszej i trzeciej prostej:

   $$\sqrt{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = -1$$

3. Iloczyn jest równy $-1$, więc pierwsza i trzecia prosta są prostopadłe. W ich punkcie przecięcia (jednym z wierzchołków trójkąta $KLM$) powstaje więc kąt prosty, czyli trójkąt $KLM$ jest prostokątny. Poprawna odpowiedź to B oraz uzasadnienie 2.