# Zadanie 18, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-18

## Treść

Ciąg $(3x^2+5x,\ x^2,\ 20-x^2)$ jest arytmetyczny.

Oblicz $x$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x = -4$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego, zgodnie z którą podwojony środkowy wyraz jest sumą wyrazu pierwszego i trzeciego:

   $$2x^2 = (3x^2+5x) + (20-x^2)$$

2. Upraszczamy prawą stronę równania:

   $$2x^2 = 2x^2+5x+20$$

3. Odejmujemy $2x^2$ od obu stron i wyznaczamy $x$:

   $$\begin{aligned}&0 = 5x+20 \\[8pt] &x = -4\end{aligned}$$