# Zadanie 17, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-17

## Treść

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $128$, natomiast iloraz ciągu jest równy $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wyraz $a_{2023}$ jest liczbą ujemną.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Różnica $a_3 - a_2$ jest równa $96$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

   $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 128 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$

2. Sprawdzamy znak wyrazu $a_{2023}$. Wykładnik $n-1 = 2022$ jest parzysty, więc $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2022}$ jest dodatnia, a zatem $a_{2023}$ jest liczbą dodatnią, zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).

3. Obliczamy wyrazy $a_2$ i $a_3$:

   $$a_2 = 128 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -64, \qquad a_3 = 128 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 128 \cdot \dfrac{1}{4} = 32$$

4. Obliczamy różnicę:

   $$a_3 - a_2 = 32 - (-64) = 96$$

5. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.