# Zadanie 15, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Funkcja kwadratowa
- Rodzaj: zamknięte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-15

## Treść

Funkcje $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ oraz $F$ są określone dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział $(-\infty, 2]$ jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .

A. $A(x) = -(x-3)^2+2$
B. $B(x) = x^2+2$
C. $C(x) = -5(x-2)^2$
D. $D(x) = (x-2)^2$
E. $E(x) = 2x^2-8x+10$
F. $F(x) = -2x^2+4x$

## Odpowiedź

AF

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zbiór wartości $(-\infty, 2]$ jest ograniczony z góry, więc szukamy funkcji, których wykres to parabola skierowana ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ ujemny). Funkcje $B$, $D$ i $E$ mają współczynnik dodatni (parabola ramionami w górę), więc ich zbiór wartości jest ograniczony z dołu, a nie z góry, więc od razu je odrzucamy.

2. Funkcja $A(x) = -(x-3)^2+2$ jest już zapisana w postaci kanonicznej. Jej wierzchołek to $(3,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to:

   $$(-\infty, 2]$$

3. Funkcja $C(x) = -5(x-2)^2$ ma wierzchołek $(2,0)$, więc wartość maksymalna wynosi $0$, a zbiór wartości to $(-\infty, 0]$, a to nie jest szukany przedział.

4. Funkcję $F(x) = -2x^2+4x$ sprowadzamy do postaci kanonicznej:

   $$F(x) = -2x^2+4x = -2(x^2-2x) = -2(x-1)^2+2$$

5. Wierzchołek to $(1,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to $(-\infty,2]$, co pasuje. Zatem szukanymi funkcjami są $A$ oraz $F$.