# Zadanie 8, matura podstawowa sierpień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien)
- Dział: Równania
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien/zadanie-08

## Treść

Równanie $\dfrac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie. $\qquad\qquad$ B. dwa rozwiązania. $\qquad\qquad$ C. trzy rozwiązania. $\qquad\qquad$ D. cztery rozwiązania.

## Odpowiedź

B. dwa rozwiązania

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Rozwiązujemy równanie z licznika:

   $$\begin{aligned}&x^2-3x=0 \\[8pt] &x(x-3)=0 \\[8pt] &x=0 \text{ lub } x=3\end{aligned}$$

2. Drugi czynnik licznika, $x^2+1$, nie ma miejsc zerowych, bo $x^2+1 \geq 1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, więc nie daje żadnych dodatkowych rozwiązań.

3. Sprawdzamy dziedzinę. Mianownik $x^2-25$ zeruje się dla $x=5$ oraz $x=-5$. Żadna z tych liczb nie pokrywa się z otrzymanymi rozwiązaniami $x=0$ i $x=3$, więc oba są poprawne.

4. Równanie ma zatem dokładnie dwa rozwiązania: $x=0$ oraz $x=3$.