# Zadanie 32, matura podstawowa sierpień 2023 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2023 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien-formula-2015)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/sierpien-formula-2015/zadanie-32

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $y$ takiej, że $x > 2y$, prawdziwa jest nierówność

$x^2 + 3xy - 10y^2 > 0$

## Odpowiedź

Wykazaliśmy, że $(x - 2y)(x + 5y) > 0$, czyli $x^2 + 3xy - 10y^2 > 0$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy lewą stronę nierówności, rozbijając środkowy wyraz i wyłączając wspólne czynniki przed nawias.

   $$\begin{aligned}x^2 + 3xy - 10y^2 &= x^2 + 5xy - 2xy - 10y^2 \\[8pt] &= x(x + 5y) - 2y(x + 5y) \\[8pt] &= (x - 2y)(x + 5y)\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium