# Zadanie 31.2, matura podstawowa maj 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj)
- Dział: Funkcja kwadratowa
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj/zadanie-31-2

## Treść

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$-tego dnia opisuje funkcja

$L(n) = -n^2 + 22n + 279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \geq 1$ i $n \leq 30$.

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

Największą liczbę klientów, $400$, obsłużono jedenastego dnia ($n=11$)

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Funkcja $L$ jest kwadratowa, ze współczynnikiem przy $n^2$ równym $-1<0$, więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, a największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku tej paraboli. Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej, wyłączając $-1$ przed nawias i uzupełniając wyrażenie w nawiasie do pełnego kwadratu:

   $$\begin{aligned}&L(n) = -n^2+22n+279 = -\left(n^2-22n\right)+279 \\[8pt] &= -\left[(n-11)^2-121\right]+279 \\[8pt] &= -(n-11)^2+400\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium