# Zadanie 25, matura podstawowa maj 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj/zadanie-25

## Treść

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $15$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

A. $15\sqrt{2} \qquad\qquad$ B. $45 \qquad\qquad$ C. $5\sqrt{2} \qquad\qquad$ D. $10$

## Odpowiedź

B. $45$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku $15$, więc obliczamy długość przekątnej podstawy:

   $$e = 15\sqrt{2}$$

2. Kąt $\alpha$ jest kątem między przekątną graniastosłupa $d$ a jej rzutem na podstawę, czyli przekątną podstawy $e$, więc $\cos\alpha = \dfrac{e}{d}$. Wyznaczamy $d$:

   $$\begin{aligned}&\cos\alpha = \dfrac{e}{d} \\[8pt] &d = \dfrac{e}{\cos\alpha} = \dfrac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = 15\sqrt{2}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{2}}\end{aligned}$$

3. Skracamy $\sqrt{2}$ i obliczamy wynik:

   $$d = 15\bcancel{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{3}{\bcancel{\sqrt{2}}} = 45$$