# Zadanie 23, matura podstawowa maj 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj/zadanie-23

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

$k: y = \dfrac{2}{3}x$
$l: y = -\dfrac{3}{2}x + 13$

Proste $k$ oraz $l$

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="height: 20px;">
      <td rowspan="3" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; font-weight: 600;">A.</td>
      <td rowspan="3" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">są prostopadłe</td>
      <td rowspan="6" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych</td>
      <td rowspan="2" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; font-weight: 600;">1.</td>
      <td rowspan="2" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$(-6,-4)$</td>
    </tr>
    <tr style="height: 20px;"></tr>
    <tr style="height: 20px;">
      <td rowspan="2" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; font-weight: 600;">2.</td>
      <td rowspan="2" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$(6,4)$</td>
    </tr>
    <tr style="height: 20px;">
      <td rowspan="3" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; font-weight: 600;">B.</td>
      <td rowspan="3" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">nie są prostopadłe</td>
    </tr>
    <tr style="height: 20px;">
      <td rowspan="2" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; font-weight: 600;">3.</td>
      <td rowspan="2" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$(-6,4)$</td>
    </tr>
    <tr style="height: 20px;"></tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

A2

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sprawdzamy, czy proste są prostopadłe, mnożąc ich współczynniki kierunkowe:

   $$a_k \cdot a_l = \dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -1$$

2. Iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$, więc proste $k$ i $l$ są prostopadłe (odpowiedź A).

3. Wyznaczamy punkt przecięcia, przyrównując prawe strony równań:

   $$\begin{aligned} &\dfrac{2}{3}x = -\dfrac{3}{2}x + 13 \\[8pt] &\dfrac{2}{3}x + \dfrac{3}{2}x = 13 \\[8pt] &\dfrac{4}{6}x + \dfrac{9}{6}x = 13 \\[8pt] &\dfrac{13}{6}x = 13 \\[8pt] &x = 6 \end{aligned}$$

4. Obliczamy współrzędną $y$, podstawiając $x=6$ do równania prostej $k$:

   $$y = \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4$$

5. Punkt przecięcia to $P=(6,4)$ (odpowiedź 2).