# Zadanie 20, matura podstawowa maj 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj/zadanie-20

## Treść

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150°$.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

A. $24 \qquad\qquad$ B. $72 \qquad\qquad$ C. $36 \qquad\qquad$ D. $36\sqrt{2}$

## Odpowiedź

B. $72$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Pole rombu możemy obliczyć na dwa sposoby, przez bok i kąt między bokami ($P = a^2 \sin\alpha$) oraz przez przekątne ($P = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$). Przyrównujemy oba wzory, aby wyznaczyć iloczyn przekątnych:

   $$d_1 \cdot d_2 = 2a^2 \sin\alpha$$

2. Podstawiamy $a = 6\sqrt{2}$ oraz $\alpha = 150°$, korzystając z $\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$:

   $$d_1 \cdot d_2 = 2 \cdot \left(6\sqrt{2}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{2} = \left(6\sqrt{2}\right)^2 = 72$$