# Zadanie 10, matura podstawowa maj 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj)
- Dział: Układy równań
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj/zadanie-10

## Treść

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/maj/zadanie-10)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

A. $\begin{cases} y=-x+2 \\ y=-2x+1 \end{cases} \qquad\qquad$ B. $\begin{cases} y=x-2 \\ y=-2x-1 \end{cases} \qquad\qquad$ C. $\begin{cases} y=x-2 \\ y=2x+1 \end{cases} \qquad\qquad$ D. $\begin{cases} y=-x+2 \\ y=2x-1 \end{cases}$

## Odpowiedź

D. $\begin{cases} y=-x+2 \\ y=2x-1 \end{cases}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z wykresu odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie $(1,1)$ — jedna z prostych jest malejąca, druga rosnąca.

2. Prosta malejąca przechodzi przez punkty $(-3,5)$ oraz $(2,0)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:

   $$a=\dfrac{0-5}{2-(-3)}=\dfrac{-5}{5}=-1$$

3. Podstawiając punkt $(2,0)$ do wzoru $y=-x+b$, wyznaczamy wyraz wolny:

   $$0=-2+b \implies b=2$$

4. Prosta rosnąca przechodzi przez punkty $(0,-1)$ oraz $(1,1)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:

   $$a=\dfrac{1-(-1)}{1-0}=2$$

5. Podstawiając punkt $(0,-1)$ do wzoru $y=2x+b$, wyznaczamy wyraz wolny:

   $$-1=2\cdot0+b \implies b=-1$$

6. Zatem układ równań przedstawiony na rysunku to:

   $$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=2x-1 \end{cases}$$