# Zadanie 27, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Kombinatoryka
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-27

## Treść

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $(-3)$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$840$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trzy pierwsze cyfry numeru CAN muszą tworzyć trzywyrazowy ciąg arytmetyczny o różnicy $-3$, złożony z różnych cyfr ze zbioru $\{0,1,\ldots,9\}$. Wypisujemy wszystkie takie ciągi:

   $$(9,6,3), \quad (8,5,2), \quad (7,4,1), \quad (6,3,0)$$

2. Trzy pierwsze cyfry numeru CAN możemy więc wybrać na $4$ sposoby.

3. Pozostałe trzy cyfry (czwarta, piąta i szósta) muszą być różne od siebie i różne od trzech już użytych cyfr — zostało $10 - 3 = 7$ cyfr do wyboru. Czwartą cyfrę wybieramy więc na $7$ sposobów, piątą na $6$ sposobów, a szóstą na $5$ sposobów:

   $$7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$$

4. Łączną liczbę numerów CAN spełniających warunki zadania obliczamy jako iloczyn liczby możliwości wyboru trzech pierwszych cyfr i liczby możliwości wyboru pozostałych trzech cyfr:

   $$4 \cdot 210 = 840$$