# Zadanie 23, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-23

## Treść

W rombie $ABCD$ dłuższa przekątna $AC$ ma długość $12$ i tworzy z bokiem $AB$ kąt o mierze $30°$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-23)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole rombu $ABCD$ jest równe

A. $24 \qquad\qquad$ B. $36 \qquad\qquad$ C. $24\sqrt{3} \qquad\qquad$ D. $36\sqrt{2}$

## Odpowiedź

C. $24\sqrt{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekątna $AC$ rombu dzieli kąt przy wierzchołku $A$ na połowy, więc skoro kąt $BAC=30°$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny ($AB=BC$ jako boki rombu) z kątami przy podstawie $AC$ równymi $30°$ zarówno przy wierzchołku $A$, jak i przy wierzchołku $C$.

2. Niech $M$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $B$ na przekątną $AC$. Jako środek podstawy trójkąta równoramiennego $M$ dzieli $AC$ na połowy:

   $$|AM| = \dfrac{12}{2} = 6$$

3. Wysokość $BM$ obliczamy z trójkąta prostokątnego $ABM$:

   $$|BM| = |AM|\cdot\tan(30°) = 6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

4. Przekątna $AC$ dzieli romb na dwa przystające trójkąty $ABC$ i $ACD$, więc pole rombu jest dwa razy większe od pola trójkąta $ABC$:

   $$P = 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BM| = 12\cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$$