# Zadanie 22, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-22

## Treść

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ kąt o mierze $32°$. Ponadto odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-22)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta rozwartego $BOC$ jest równa

A. $148° \qquad\qquad$ B. $116° \qquad\qquad$ C. $154° \qquad\qquad$ D. $122°$

## Odpowiedź

B. $116°$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $AC$ jest średnicą, kąt wpisany $ABC$ oparty na średnicy jest kątem prostym:

   $$|\angle ABC| = 90°$$

2. Kąt między styczną $k$ a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu w kącie naprzemiennym, czyli kątowi $ACB$ opartemu na tym samym łuku $AB$:

   $$|\angle ACB| = 32°$$

3. Z sumy kątów w trójkącie $ABC$ obliczamy kąt $BAC$:

   $$|\angle BAC| = 180° - 90° - 32° = 58°$$

4. Kąt środkowy $BOC$ oparty na tym samym łuku $BC$ co kąt wpisany $BAC$ jest dwa razy większy od tego kąta wpisanego:

   $$|\angle BOC| = 2\cdot 58° = 116°$$