# Zadanie 21, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-21

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $K = (-7, -2)$ oraz $L = (-1, 4)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $KLM$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $KLM$ jest równe

A. $17\sqrt{2} \qquad\qquad$ B. $17\sqrt{3} \qquad\qquad$ C. $18\sqrt{2} \qquad\qquad$ D. $18\sqrt{3}$

## Odpowiedź

D. $18\sqrt{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy długość boku $KL$ ze wzoru na odległość punktów:

   $$|KL| = \sqrt{(-1-(-7))^2+(4-(-2))^2} = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

2. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $a=6\sqrt{2}$:

   $$P = \dfrac{\left(6\sqrt{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}$$