# Zadanie 18, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-18

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $l$ o równaniu $y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{15}{2}$. Prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ i przechodzi przez punkt $P=(6,0)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta $k$ ma równanie

A. $y = \dfrac{3}{2}x+6 \qquad\qquad$ B. $y = -\dfrac{2}{3}x+6 \qquad\qquad$ C. $y = \dfrac{3}{2}x-9 \qquad\qquad$ D. $y = -\dfrac{2}{3}x+4$

## Odpowiedź

D. $y = -\dfrac{2}{3}x+4$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Współczynnik kierunkowy prostej $l$ to $\dfrac{3}{2}$. Proste prostopadłe mają iloczyn współczynników kierunkowych równy $-1$, więc współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi:

   $$a_k = -\dfrac{1}{\frac{3}{2}} = -\dfrac{2}{3}$$

2. Prostą $k$ zapisujemy jako $y = -\dfrac{2}{3}x + b$ i wyznaczamy $b$, podstawiając współrzędne punktu $P=(6,0)$:

   $$\begin{aligned} 0 &= -\dfrac{2}{3}\cdot 6 + b \\[8pt] 0 &= -4+b \\[8pt] b &= 4 \end{aligned}$$

3. Zatem prosta $k$ ma równanie $y=-\dfrac{2}{3}x+4$.