# Zadanie 17, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-17

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{2}{3} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\cos\alpha$ (dodatni, bo kąt jest ostry):

   $$\begin{aligned} \cos^2\alpha &= 1-\sin^2\alpha = 1-\dfrac{5}{9} = \dfrac{4}{9} \\[8pt] \cos\alpha &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$

2. Obliczamy tangens:

   $$\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\cdot\dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$$