# Zadanie 16.2, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-2

## Treść

Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki:

$\alpha \in (0^{\circ}, 180^{\circ})$ i $\text{tg}\,\alpha = -\dfrac{2}{3}$ oraz $\beta \in (0^{\circ}, 180^{\circ})$ i $\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze $\alpha$ oraz kąt o mierze $\beta$. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: $A$ lub $B$, lub $C$, lub $D$, lub $E$, lub $F$.

<div style="display:grid; grid-template-columns: 1fr 1fr; gap: 16px; margin: 8px 0;">
<div><b>A.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-2)*

</div>
<div><b>B.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-2)*

</div>
<div><b>C.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-2)*

</div>
<div><b>D.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-2)*

</div>
<div><b>E.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-2)*

</div>
<div><b>F.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-2)*

</div>
</div>

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt $\beta$ jest zaznaczony na rysunku

## Odpowiedź

D.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{10}} > 0$ i $\beta \in (0^{\circ},180^{\circ})$, kąt $\beta$ jest ostry — jego ramię leży w I ćwiartce (dodatnia odcięta i dodatnia rzędna).

2. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\sin\beta$ (dodatni, bo kąt jest ostry):

   $$\begin{aligned} \sin^2\beta &= 1-\cos^2\beta = 1-\dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10} \\[8pt] \sin\beta &= \dfrac{3}{\sqrt{10}} \end{aligned}$$

3. Obliczamy tangens:

   $$\text{tg}\,\beta = \dfrac{\sin\beta}{\cos\beta} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \cdot \sqrt{10} = 3$$

4. Sprawdzamy punkty leżące w I ćwiartce:

   $$\begin{aligned} C=(3,2): \quad \text{tg} &= \dfrac{2}{3} \\[8pt] D=(1,3): \quad \text{tg} &= \dfrac{3}{1} = 3 \\[8pt] F=(3,1): \quad \text{tg} &= \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$

5. Tylko punkt $D$ daje $\text{tg}\,\beta = 3$, więc kąt $\beta$ jest zaznaczony na rysunku D.