# Zadanie 16.1, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-1

## Treść

Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki:

$\alpha \in (0^{\circ}, 180^{\circ})$ i $\text{tg}\,\alpha = -\dfrac{2}{3}$ oraz $\beta \in (0^{\circ}, 180^{\circ})$ i $\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze $\alpha$ oraz kąt o mierze $\beta$. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: $A$ lub $B$, lub $C$, lub $D$, lub $E$, lub $F$.

<div style="display:grid; grid-template-columns: 1fr 1fr; gap: 16px; margin: 8px 0;">
<div><b>A.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-1)*

</div>
<div><b>B.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-1)*

</div>
<div><b>C.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-1)*

</div>
<div><b>D.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-1)*

</div>
<div><b>E.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-1)*

</div>
<div><b>F.</b>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-16-1)*

</div>
</div>

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt $\alpha$ jest zaznaczony na rysunku

## Odpowiedź

B.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $\alpha \in (0^{\circ},180^{\circ})$ i $\text{tg}\,\alpha$ jest ujemny, kąt $\alpha$ jest rozwarty — ramię kąta różne od dodatniej półosi $Ox$ leży więc w II ćwiartce układu (ma ujemną odciętą i dodatnią rzędną).

2. Tangens kąta wyznaczonego przez punkt $(x,y)$ leżący na jego ramieniu to iloraz $\dfrac{y}{x}$. Sprawdzamy punkty leżące w II ćwiartce:

   $$\begin{aligned} A=(-2,3): \quad \text{tg} &= \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2} \\[8pt] B=(-3,2): \quad \text{tg} &= \dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3} \\[8pt] E=(-1,3): \quad \text{tg} &= \dfrac{3}{-1} = -3 \end{aligned}$$

3. Tylko punkt $B$ daje $\text{tg}\,\alpha = -\dfrac{2}{3}$, więc kąt $\alpha$ jest zaznaczony na rysunku B.