# Zadanie 14, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-14

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem $S_n = 4\cdot(2^n - 1)$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Pierwszy wyraz ciągu (a<sub>n</sub>) jest równy $4$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Drugi wyraz ciągu (a<sub>n</sub>) jest równy $12$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PF

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Pierwszy wyraz ciągu to suma jednego początkowego wyrazu, czyli $S_1$:

   $$a_1 = S_1 = 4\cdot(2^1-1) = 4\cdot 1 = 4$$

2. Zgadza się to z pierwszym stwierdzeniem, więc jest ono prawdziwe (P).

3. Drugi wyraz obliczamy jako różnicę $S_2$ i $S_1$:

   $$\begin{aligned} S_2 &= 4\cdot(2^2-1) = 4\cdot 3 = 12 \\[8pt] a_2 &= S_2 - S_1 = 12 - 4 = 8 \end{aligned}$$

4. Ponieważ $a_2 = 8 \neq 12$, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.