# Zadanie 7, matura podstawowa grudzień 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/grudzien/zadanie-07

## Treść

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-3)$ i $(-2)$ wartość wyrażenia $\dfrac{x+3}{x^2+4x+4} \cdot \dfrac{x^2+2x}{2x+6}$ jest równa wartości wyrażenia

A. $\dfrac{x}{2} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{x}{4} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{x}{2x+4} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{x^3+3x^2}{6x^2+24x+24}$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{x}{2x+4}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka oraz licznik drugiego na czynniki:

   $$x^2+4x+4=(x+2)^2, \quad x^2+2x=x(x+2)$$

2. Zapisujemy $2x+6=2(x+3)$ i podstawiamy rozkłady do wyrażenia:

   $$\dfrac{x+3}{(x+2)^2}\cdot\dfrac{x(x+2)}{2(x+3)}$$

3. Skracamy wspólny czynnik $(x+3)$ w liczniku i mianowniku:

   $$\dfrac{\bcancel{(x+3)}\cdot x(x+2)}{(x+2)^2\cdot 2\cdot\bcancel{(x+3)}} = \dfrac{x(x+2)}{2(x+2)^2}$$

4. Skracamy jeden czynnik $(x+2)$ w liczniku z jednym z dwóch czynników $(x+2)$ w mianowniku:

   $$\dfrac{x\cdot\bcancel{(x+2)}}{2\cdot\bcancel{(x+2)}\cdot(x+2)} = \dfrac{x}{2(x+2)} = \dfrac{x}{2x+4}$$