# Zadanie 33, matura podstawowa czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec)
- Dział: Funkcja kwadratowa
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-33

## Treść

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $|AB| = 400$ m oraz $|CD| = 100$ m. Wysokość trapezu jest równa $75$ m, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $E$ oraz $F$ – na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-33)*

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.
Zapisz obliczenia.

<i>Wskazówka:</i>
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD$:

$P_{ABCD} = P_{ABFE} + P_{EFCD}$

## Odpowiedź

$x = 50$ m, $y = 200$ m, $P_{max} = 10\,000$ m$^2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku:
<ul><li>$x$ - wysokość prostokąta</li><li>$y$ - długość boku $EF$</li></ul>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-33)*

Odcinek $EF$ dzieli trapez $ABCD$ na trapezy $ABFE$ i $EFCD$ o wysokościach $x$ i $75-x$. Ze wskazówki pole trapezu $ABCD$ jest sumą ich pól.

   $$\begin{aligned}&P = \dfrac{a+b}{2}\cdot h \\[8pt] &P_{ABCD} = P_{ABFE} + P_{EFCD} \\[8pt] &\dfrac{100+400}{2}\cdot 75 = \dfrac{400+y}{2}\cdot x + \dfrac{100+y}{2}\cdot(75-x) \;\;/\cdot 2\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium