# Zadanie 28, matura podstawowa czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-28

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (1, 7)$ oraz $P = (3, 1)$. Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $|AP| : |PB| = 1 : 3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt $B$ ma współrzędne

A. $(9, -5) \qquad\qquad$ B. $(9, -17) \qquad\qquad$ C. $(7, -11) \qquad\qquad$ D. $(5, -5)$

## Odpowiedź

B. $(9, -17)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. *(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-28)*

Z punktu $A$ do punktu $P$ przechodzimy o $2$ w prawo i o $6$ w dół. Przerywane trójkąty prostokątne są podobne, bo $|AB| = |AP|+|PB| = 4|AP|$, więc przyprostokątne dużego trójkąta są $4$ razy dłuższe.

   $$\begin{aligned}&x_P-x_A = 3-1 = 2 \qquad y_P-y_A = 1-7 = -6 \\[8pt] &4\cdot2 = 8 \qquad 4\cdot6 = 24\end{aligned}$$

2. Z punktu $A$ przechodzimy o $8$ w prawo i o $24$ w dół.

   $$\begin{aligned}&x_B = 1+8 = 9 \\[8pt] &y_B = 7-24 = -17\end{aligned}$$