# Zadanie 20, matura podstawowa czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-20

## Treść

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30°$, $45°$ oraz $105°$. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – $a$, $b$ oraz $c$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-20)*

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ______ oraz ______.

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{4}\cdot a\cdot c \qquad\qquad$ C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c \qquad\qquad$ D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c \qquad\qquad$ E. $\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c \qquad\qquad$ F. $\dfrac{1}{4}\cdot b\cdot c$

## Odpowiedź

C i F

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Pole trójkąta to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Między bokami $a$ i $c$ leży kąt $45°$, bo jest naprzeciw boku $b$.

   $$\begin{aligned}&\sin45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &P = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\sin45° = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium