# Zadanie 19, matura podstawowa czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-19

## Treść

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos\alpha - \cos\alpha \cdot \sin^2\alpha$ jest równe

A. $\cos^3\alpha \qquad\qquad$ B. $\sin^2\alpha \qquad\qquad$ C. $1-\sin^2\alpha \qquad\qquad$ D. $\cos\alpha$

## Odpowiedź

A. $\cos^3\alpha$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oba składniki zawierają $\cos\alpha$, więc wyłączamy go przed nawias.

   $$\cos\alpha - \cos\alpha \cdot \sin^2\alpha = \cos\alpha\,(1-\sin^2\alpha)$$

2. Z jedynki trygonometrycznej zamieniamy $1-\sin^2\alpha$ na $\cos^2\alpha$.

   $$\begin{aligned}&\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \\[8pt] &1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha \\[8pt] &\cos\alpha\,(1-\sin^2\alpha) = \cos\alpha \cdot \cos^2\alpha = \cos^3\alpha\end{aligned}$$