# Zadanie 6, matura podstawowa czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-06

## Treść

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\left(1+\sqrt{5}\right)^2 - \left(1-\sqrt{5}\right)^2$ jest równa

A. $0 \qquad\qquad$ B. $(-10) \qquad\qquad$ C. $4\sqrt{5} \qquad\qquad$ D. $2+2\sqrt{5}$

## Odpowiedź

C. $4\sqrt{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, w którym $a=1+\sqrt5$ i $b=1-\sqrt5$.

   $$\begin{aligned}&a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\[8pt] &\left(1+\sqrt5\right)^2-\left(1-\sqrt5\right)^2 = \\[8pt] &=\left[(1+\sqrt5)-(1-\sqrt5)\right]\cdot\left[(1+\sqrt5)+(1-\sqrt5)\right]\end{aligned}$$

2. Upraszczamy oba nawiasy.

   $$\begin{aligned}&(1+\sqrt5)-(1-\sqrt5) = 2\sqrt5 \\[8pt] &(1+\sqrt5)+(1-\sqrt5) = 2\end{aligned}$$

3. Mnożymy wyniki z obu nawiasów.

   $$2\sqrt5\cdot 2 = 4\sqrt5$$