# Zadanie 2, matura podstawowa czerwiec 2023

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2023/czerwiec/zadanie-02

## Treść

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ iloczyn $\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}$ jest równy

A. $x \qquad\qquad$ B. $\sqrt[10]{x} \qquad\qquad$ C. $\sqrt[18]{x} \qquad\qquad$ D. $x^2$

## Odpowiedź

A. $x$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy każdy pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym.

   $$\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}$$

2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, więc dodajemy wykładniki.

   $$\begin{aligned}&x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} \\[8pt] &\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1 \\[8pt] &x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = x^1 = x\end{aligned}$$