# Zadanie 32, matura podstawowa sierpień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien/zadanie-32

## Treść

Rozwiąż równanie

$\dfrac{4}{x+2} = x - 1$

## Odpowiedź

$x = -3$ lub $x = 2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Równanie ma sens liczbowy, gdy mianownik jest różny od zera, czyli dla $x \neq -2$. Mnożymy obie strony równania przez $(x+2)$:

   $$4 = (x-1)(x+2)$$

2. Wymnażamy nawiasy po prawej stronie i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

   $$\begin{aligned}&4 = x^2 + x - 2 \\[8pt]&x^2 + x - 6 = 0\end{aligned}$$

3. Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^2 + x - 6$:

   $$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

4. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:

   $$x_1 = \dfrac{-1-5}{2} = -3, \quad x_2 = \dfrac{-1+5}{2} = 2$$

5. Oba otrzymane rozwiązania są różne od $-2$, więc spełniają założenie i są rozwiązaniami danego równania.

   $$x = -3 \quad \text{lub} \quad x = 2$$