# Zadanie 31, matura podstawowa sierpień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien/zadanie-31

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ różnej od $0$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ różnej od $0$ spełniona jest nierówność

$2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0$

## Odpowiedź

$2a^2 - 4ab + 5b^2 = a^2 + (a-2b)^2 + b^2 > 0$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy lewą stronę nierówności, rozbijając $2a^2$ na $a^2 + a^2$ i uzupełniając wyrażenie do kwadratu różnicy:

   $$\begin{aligned}&2a^2 - 4ab + 5b^2 \\[8pt]&= a^2 + \left(a^2 - 4ab + 4b^2\right) + b^2 \\[8pt]&= a^2 + (a-2b)^2 + b^2\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium