# Zadanie 23, matura podstawowa sierpień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien/zadanie-23

## Treść

Punkty $A = (-6, 5)$, $B = (5, 7)$, $C = (10, -3)$ są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Długość przekątnej $BD$ tego równoległoboku jest równa

A. $3\sqrt{5} \qquad\qquad$ B. $4\sqrt{5} \qquad\qquad$ C. $6\sqrt{5} \qquad\qquad$ D. $8\sqrt{5}$

## Odpowiedź

C. $6\sqrt{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. W równoległoboku $ABCD$ przekątne $AC$ i $BD$ mają wspólny środek, więc wierzchołek $D$ wyznaczamy ze wzoru $D = A + C - B$:

   $$D = (-6+10-5,\ 5-3-7) = (-1,-5)$$

2. Obliczamy długość odcinka $BD$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:

   $$|BD| = \sqrt{(5-(-1))^2+(7-(-5))^2} = \sqrt{36+144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$