# Zadanie 17, matura podstawowa sierpień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien/zadanie-17

## Treść

Nie istnieje kąt ostry $\alpha$ taki, że

A. $\sin \alpha = \dfrac13$ i $\cos \alpha = \dfrac23 \qquad\qquad$ B. $\sin \alpha = \dfrac{5}{13}$ i $\cos \alpha = \dfrac{12}{13} \qquad\qquad$ C. $\sin \alpha = \dfrac35$ i $\cos \alpha = \dfrac45 \qquad\qquad$ D. $\sin \alpha = \dfrac{9}{15}$ i $\cos \alpha = \dfrac{12}{15}$

## Odpowiedź

A. $\sin \alpha = \dfrac13$ i $\cos \alpha = \dfrac23$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ i sprawdzamy każdą odpowiedź.

2. Dla odpowiedzi A:

   $$\left(\dfrac13\right)^2 + \left(\dfrac23\right)^2 = \dfrac19+\dfrac49 = \dfrac59 \neq 1$$

3. Dla pozostałych odpowiedzi warunek jest spełniony, np. dla B:

   $$\left(\dfrac{5}{13}\right)^2 + \left(\dfrac{12}{13}\right)^2 = \dfrac{25+144}{169} = \dfrac{169}{169} = 1$$

4. Zatem kąt ostry o podanych wartościach sinusa i cosinusa nie istnieje tylko w odpowiedzi A, ponieważ nie spełnia ona jedynki trygonometrycznej.