# Zadanie 16, matura podstawowa sierpień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien/zadanie-16

## Treść

Przyprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ ma długość $6$, a przeciwprostokątna $AB$ ma długość $3\sqrt{5}$. Wtedy tangens kąta ostrego $CAB$ tego trójkąta jest równy

A. $\dfrac{\sqrt5}{5} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{2\sqrt5}{5} \qquad\qquad$ C. $\dfrac12 \qquad\qquad$ D. $2$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{1}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny, z przyprostokątnymi $AC$ i $BC$ oraz przeciwprostokątną $AB$. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość drugiej przyprostokątnej $BC$:

   $$BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{\left(3\sqrt5\right)^2-6^2} = \sqrt{45-36} = \sqrt9 = 3$$

2. Tangens kąta $CAB$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($BC$) do przyprostokątnej przyległej ($AC$):

   $$\tan(\angle CAB) = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac12$$