# Zadanie 14, matura podstawowa sierpień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/sierpien/zadanie-14

## Treść

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu $(a_n)$ są równe $2$. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $1 \qquad\qquad$ B. $11 \qquad\qquad$ C. $21 \qquad\qquad$ D. $31$

## Odpowiedź

D. $31$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Iloraz ciągu wynosi $q=2$, a drugi wyraz $a_2=2$. Wyznaczamy pierwszy wyraz:

   $$\begin{aligned}&a_2 = a_1 \cdot q \\[8pt] &2 = a_1 \cdot 2 \\[8pt] &a_1=1\end{aligned}$$

2. Sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru $S_5 = a_1 \cdot \dfrac{q^5-1}{q-1}$:

   $$S_5 = 1 \cdot \dfrac{2^5-1}{2-1} = \dfrac{32-1}{1} = 31$$