# Zadanie 32, matura podstawowa maj 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj/zadanie-32

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\text{tg}\,\alpha = 2$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2 \alpha$.

## Odpowiedź

$\sin^2\alpha = \dfrac{4}{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy z definicji tangensa. Skoro $\text{tg}\,\alpha = 2$, to $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2$, czyli $\sin\alpha = 2\cos\alpha$.

2. Podstawiamy ten związek do jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

   $$(2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1$$

3. Upraszczamy i wyznaczamy $\cos^2\alpha$:

   $$\begin{aligned}&5\cos^2\alpha = 1 \\[8pt]&\cos^2\alpha = \dfrac{1}{5}\end{aligned}$$

4. Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć $\sin^2\alpha$:

   $$\begin{aligned}&\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \\[8pt]&\sin^2\alpha + \dfrac{1}{5} = 1 \\[8pt]&\sin^2\alpha = \dfrac{4}{5}\end{aligned}$$