# Zadanie 31, matura podstawowa maj 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj/zadanie-31

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \neq a$, spełniona jest nierówność

$\dfrac{a^2+b^2}{2} > \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$

## Odpowiedź

Dowód wprost: nierówność jest równoważna $(a-b)^2>0$, prawdziwej dla każdych $a \neq b$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy nierówność w sposób równoważny. Mnożymy obie strony przez $4$ i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

   $$\begin{aligned} &\dfrac{a^2+b^2}{2} > \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \\[8pt] &\dfrac{a^2+b^2}{2} > \dfrac{a^2+2ab+b^2}{4} \\[8pt] &2a^2+2b^2 > a^2+2ab+b^2 \\[8pt] &a^2-2ab+b^2 > 0 \\[8pt] &(a-b)^2>0 \end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium