# Zadanie 18, matura podstawowa maj 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj/zadanie-18

## Treść

Punkty $A$, $B$, $P$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $6$. Czworokąt $ASBP$ jest rombem, w którym kąt ostry $PAS$ ma miarę $60°$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj/zadanie-18)*

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

A. $6\pi \qquad\qquad$ B. $9\pi \qquad\qquad$ C. $10\pi \qquad\qquad$ D. $12\pi$

## Odpowiedź

D. $12\pi$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Czworokąt $ASBP$ jest rombem, więc kąty przy sąsiednich wierzchołkach sumują się do $180°$. Kąt $PAS = 60°$, więc kąt przy wierzchołku $S$:

   $$\angle ASB = 180° - 60° = 120°$$

2. Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $6$, a kąt $ASB = 120°$ jest kątem środkowym wycinka koła ograniczonego promieniami $SA$, $SB$ i łukiem $AB$ przechodzącym przez $P$. To właśnie ta figura jest zakreskowana na rysunku.

3. Pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\beta$:

   $$P = \dfrac{\beta}{360°} \cdot \pi r^2 = \dfrac{120°}{360°} \cdot \pi \cdot 6^2 = \dfrac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi$$