# Zadanie 15, matura podstawowa maj 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj/zadanie-15

## Treść

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, są dodatnie i $9a_5 = 4a_3$. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A. $\dfrac{2}{3} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{3}{2} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{2}{9} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{9}{2}$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{2}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyrażamy $a_5$ przez $a_3$ i iloraz $q$:

   $$a_5 = a_3 \cdot q^2$$

2. Podstawiamy do równania $9a_5 = 4a_3$ i dzielimy obie strony przez $a_3$ (wyraz dodatni, więc $a_3 \neq 0$):

   $$9a_3q^2 = 4a_3 \implies q^2 = \dfrac{4}{9}$$

3. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni:

   $$q = \dfrac{2}{3}$$