# Zadanie 2, matura podstawowa maj 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/maj/zadanie-02

## Treść

Dodatnie liczby $x$ i $y$ spełniają warunek $2x = 3y$. Wynika stąd, że wartość wyrażenia $\dfrac{x^2+y^2}{x \cdot y}$ jest równa

A. $\dfrac{2}{3} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{13}{6} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{6}{13} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{3}{2}$

## Odpowiedź

B. $\dfrac{13}{6}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z warunku $2x = 3y$ wyznaczamy $x$ w zależności od $y$:

   $$x = \dfrac{3}{2}y$$

2. Podstawiamy do licznika i mianownika wyrażenia:

   $$\begin{aligned}&x^2+y^2 = \left(\dfrac{3}{2}y\right)^2+y^2 = \dfrac{9}{4}y^2+y^2 = \dfrac{13}{4}y^2 \\[8pt]&x \cdot y = \dfrac{3}{2}y \cdot y = \dfrac{3}{2}y^2\end{aligned}$$

3. Dzielimy licznik przez mianownik (upraszczamy $y^2$, bo $y>0$):

   $$\dfrac{x^2+y^2}{x \cdot y} = \dfrac{\frac{13}{4}y^2}{\frac{3}{2}y^2} = \dfrac{13}{4}\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{13}{6}$$