# Zadanie 26, matura podstawowa grudzień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-26

## Treść

Dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB \| CD$ oraz przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa $12$. Obwód trójkąta $ABO$ jest równy $39$, a obwód trójkąta $CDO$ jest równy $13$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-26)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość trójkąta $ABO$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa

A. $3 \qquad\qquad$ B. $4 \qquad\qquad$ C. $9 \qquad\qquad$ D. $6$

## Odpowiedź

C. $9$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $AB \parallel CD$, trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne (kąty naprzemianległe przy przekątnych, cecha kkk).

2. Skala podobieństwa jest równa stosunkowi obwodów tych trójkątów:

   $$k = \dfrac{Obw_{ABO}}{Obw_{CDO}} = \dfrac{39}{13}=3$$

3. Wysokości trójkątów $ABO$ i $CDO$ poprowadzone z punktu $O$ pozostają w tej samej skali $3:1$ i w sumie dają wysokość trapezu równą $12$. Oznaczmy wysokość trójkąta $CDO$ przez $h$ - wysokość trójkąta $ABO$ jest wtedy równa $3h$:

   $$\begin{aligned}&h+3h=12 \\[8pt] &4h=12 \\[8pt] &h=3\end{aligned}$$

4. Wysokość trójkąta $ABO$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa:

   $$3h = 3\cdot 3 = 9$$