# Zadanie 25.1, matura podstawowa grudzień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-25-1

## Treść

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$ o polu równym $6\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-25-1)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $ABE$ jest równe

A. $6 \qquad\qquad$ B. $4\sqrt{3} \qquad\qquad$ C. $2\sqrt{3} \qquad\qquad$ D. $4$

## Odpowiedź

C. $2\sqrt{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Wyznaczamy długość boku:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 6\sqrt{3} \\[8pt] &a^2=4 \\[8pt] &a=2\end{aligned}$$

2. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$. W trójkącie $AFE$ mamy $|AF|=|FE|=a$ oraz $\angle AFE=120°$, więc z twierdzenia cosinusów obliczamy $|AE|$:

   $$\begin{aligned}&AE^2 = a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ \\[8pt] &AE^2 = 2a^2 - 2a^2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3a^2 \\[8pt] &AE = a\sqrt{3}\end{aligned}$$

3. Trójkąt $AFE$ jest równoramienny ($|AF|=|FE|$), więc kąty przy podstawie są równe: $\angle FAE = \angle FEA = \dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$. Kąt wewnętrzny sześciokąta przy wierzchołku $A$ wynosi $120°$, więc kąt między $AE$ i $AB$ jest równy $\angle EAB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$ - odcinek $AE$ jest prostopadły do boku $AB$.

4. Trójkąt $ABE$ jest zatem prostokątny, z przyprostokątnymi $AB=a=2$ i $AE=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. Jego pole jest równe:

   $$P_{ABE} = \dfrac{1}{2}\cdot AB \cdot AE = \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$