# Zadanie 24, matura podstawowa grudzień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-24

## Treść

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC| = 4$, $|AB| = 3$, $\cos\angle BAC = \dfrac{4}{5}$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$P = \dfrac{18}{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy $\alpha = \angle BAC$. Z jedynki trygonometrycznej obliczamy $\sin\alpha$:

   $$\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}$$

2. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru $P=\dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\sin\alpha$:

   $$P = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot\dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{5}$$