# Zadanie 22, matura podstawowa grudzień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-22

## Treść

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|AD| = 4$ i $|OD| = |BC| = 6$. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-22)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka $OC$ jest równa

A. $9 \qquad\qquad$ B. $8 \qquad\qquad$ C. $2\sqrt{13} \qquad\qquad$ D. $3\sqrt{13}$

## Odpowiedź

A. $9$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste, a kąty $AOD$ i $BOC$ są kątami wierzchołkowymi (równymi), więc trójkąty $AOD$ i $BOC$ są podobne (cecha kkk).

2. Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja odpowiednich boków:

   $$\dfrac{AD}{BC} = \dfrac{OD}{OC}$$

3. Podstawiamy dane $|AD|=4$, $|BC|=6$, $|OD|=6$ i wyznaczamy $|OC|$:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{OC} \\[8pt] &OC = \dfrac{6\cdot 6}{4} = 9\end{aligned}$$