# Zadanie 18, matura podstawowa grudzień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-18

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz

$\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=\dfrac{64}{9}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$ jest równa

A. $\dfrac{8}{3}\qquad\qquad$ B. $\dfrac{3}{8}\qquad\qquad$ C. $\dfrac{64}{9}\qquad\qquad$ D. $\dfrac{9}{64}$

## Odpowiedź

B. $\dfrac{3}{8}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika, korzystając z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

   $$\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$$

2. Porównujemy z danym równaniem:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \dfrac{64}{9} \\[8pt] &\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \dfrac{9}{64}\end{aligned}$$

3. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin\alpha>0$ i $\cos\alpha>0$, zatem pierwiastkujemy obie strony bez zmiany znaku:

   $$\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{9}{64}} = \dfrac{3}{8}$$