# Zadanie 17, matura podstawowa grudzień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-17

## Treść

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. W tym ciągu $a_1=-5$, $a_2=15$, $a_3=-45$.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Wzór ogólny ciągu $(a_n)$ ma postać

A. $a_n=-5\cdot(-3)^{n-1}\qquad\qquad$ B. $a_n=-5\cdot(-3)^{n}\qquad\qquad$ C. $a_n=-5\cdot3^{n-1}\qquad\qquad$ D. $a_n=-5\cdot\dfrac{(-3)^{n}}{3}\qquad\qquad$ E. $a_n=5\cdot\dfrac{(-3)^{n}}{3}\qquad\qquad$ F. $a_n=5\cdot(-3)^{n}\cdot3$

## Odpowiedź

A i E

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:

   $$q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{15}{-5} = -3$$

2. Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, podstawiamy dane:

   $$a_n = -5\cdot(-3)^{n-1}$$

3. To odpowiada odpowiedzi A. Sprawdzamy, czy odpowiedź E jest z nią równoważna:

   $$\begin{aligned}5\cdot\dfrac{(-3)^n}{3} &= 5\cdot\dfrac{(-3)\cdot(-3)^{n-1}}{3} \\[8pt] &= -5\cdot(-3)^{n-1}\end{aligned}$$

4. Otrzymujemy dokładnie ten sam wzór co w odpowiedzi A, więc poprawne są odpowiedzi A oraz E.